Dr. Federico Zertuche Mones / Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.
Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México-Campus Cuernavaca
Archivo: Sistemas Dinámicos

Las redes neuronales son modelos matemáticos basados en la composición básica que los neurofisiólogos conocen acerca de la estructura del cerebro, ya sea del ser humano o de animales más primitivos. La idea original se les atribuye a McCulloch y Pitts a partir de un trabajo publicado durante la segunda guerra mundial en 1943. Así pues las redes neuronales ya tienen más de medio siglo de antigüedad. Desde entonces, y con el advenimiento de las computadoras cada vez más rápidas, el tema de las redes neuronales se ha ramificado al grado agrupar hoy en día muy diversos aspectos de investigación así como de técnicas y enfoques para su estudio.
          En la naturaleza se distinguen sistemas en los que intervienen un gran número de variables. Para entender su comportamiento los modelos de redes neuronales y sistemas dinámicos complejos han resultado ser herramientas de gran utilidad. Entre estos sistemas podemos mencionar: la función cerebral, donde, el estado de activación de las neuronas juega el papel de las variables del sistema; la replicación del DNA, tema de gran actualidad y relevancia; las teorías de la evolución, en las que interviene un gran número de especies en competencia por la supervivencia; los mercados financieros que se afectan los unos a los otros en sus ganancias y pérdidas; la meteorología, etc.
         Las redes neuronales, están concebidas como modelos nuevos de sistemas cognitivos o de cálculo basados en una estructura muy diferente de la que usan las computadoras convencionales; éstas trabajan en serie, i.e. usan un procesador que codifica los cálculos a ser efectuados, son muy rápidas y eficientes para hacer cálculos numéricos, pero un sólo error de programación arruina los resultados. En el lenguaje científico decimos que no son robustas. Por el contrario el cerebro humano, si bien no es tan hábil en la rapidez de hacer cálculos
es muy robusto i.e. corrige errores y aprende y todo esto sin haber sido previamente programado. Los modelos redes neuronales tratan de funcionar de esa manera. Un caso particular, pero no menos importante de estos sistemas, lo constituyen los autómatas celulares de Kauffman, así llamados por el nombre de su inventor. Estos constituyen un modelo particular de redes neuronales, propuestas como sistemas matemáticos en la biología teórica para modelar de forma muy general las funciones de auto-organización de los seres vivos tales como: genética, estudiando la replicación del DNA, la diferenciación celular y teorías de la evolución.
          En mi trabajo como investigador estoy enfocado en estudiar cómo cambia la dinámica (esto es, el comportamiento) de los modelos de autómatas celulares de Kauffman al cambiar los parámetros fundamentales que los definen, éstos son principalmente el número de neuronas y la conectividad existente entre ellas. Al referirme a la dinámica de un modelo de autómatas celulares (y a su estudio), me refiero a las propiedades de éste en forma global (no local). Esto significa que, el estado de activación de una de las neuronas (comportamiento local) carece completamente de relevancia. Lo que los estudios pretenden captar es cómo están distribuidos los estados de activación de las neuronas en base a su conectividad media cuando el número de éstas es muy grande.

Doy dos ejemplos que establecen un símil:

1.- Una botella llena de agua contiene un gran número de moléculas de agua (del orden de 1025, i.e. un “1” seguido de 25 ceros). En cada instante de tiempo, cada una de las moléculas se está moviendo en una determinada dirección y a una determinada velocidad. Desde el punto de vista, tanto de la investigación, como de la propia realidad, en inútil tratar de determinar los movimientos particulares (locales) de cada una de estas moléculas. Lo que realmente se expresa a nivel de la realidad sensible del observador es un líquido incoloro. Estas son las propiedades que al físico estadístico (en ésta que es su especialidad) le interesa estudiar, asimismo él sabe que si bien la medición de la velocidad de una molécula en particular le es inasequible, la velocidad promedio de las moléculas le es completamente medible ya que tan sólo está dada por la raíz cuadrada de la temperatura multiplicada por una constante de proporcionalidad (esto se supo a través del desarrollo de la mecánica estadística durante la segunda mitad del siglo XIX fundamentalmente debida a los físicos Maxwell y Boltzmann) . Esto es, le bastaría tan sólo un termómetro para poder decirnos la velocidad promedio de las moléculas del líquido. Ésta se trata de una propiedad global del sistema que en este caso es el agua de la botella.
2.- El cerebro humano consiste de alrededor de 1011 neuronas cada una de las cuales está activa o inhibida en un momento determinado de alguna acción volitiva (de voluntad) que se esté efectuando. Desde el punto de vista de lo que un electroencefalograma puede medir, es cómo están distribuidos los estados de activación de las neuronas en los lóbulos cerebrales (propiedad global) mas no el estado particular de una de sus neuronas (propiedad local). Cómo estén distribuidos los estados de activación de las neuronas será lo que determinará que acciones de voluntad tome el cerebro (o más bien el individuo al que éste pertenece), independientemente de lo que esté sucediendo con una sola de sus neuronas. Esto constituye al cerebro como un sistema robusto: Si una, o varias de sus neuronas son dañadas, debido a un accidente, o a la ingesta desmesurada de bebidas alcohólicas, el cerebro seguirá efectuando sus funciones. Claro está, mientras más neuronas son dañadas, la respuesta del cerebro será más pobre; llegando a la disfuncionalidad total cuando el número de neuronas dañadas comience a representar una proporción significativa del total.

Análogamente, los autómatas de Kauffman exhiben comportamientos a nivel global cuando la interacción media de las neuronas (entendiendo aquí como neuronas variables que toman sólo dos valores 0 y 1 correspondientes a activación o inhibición) es variada. Estos comportamientos pueden ser radicalmente diferentes cuando la conectividad se acerca a ciertos valores llamados críticos. Regresando al símil de la botella con agua: si la calentamos aumentaremos su temperatura. Inicialmente a nivel macroscópico prácticamente no habrá cambio alguno hasta que la temperatura alcance los 100 oC (estando al nivel del mar), a partir de entonces el agua entrará en estado de ebullición. Se dice que el sistema ha sufrido una transición de fase. En este caso de la fase líquida a la gaseosa. En el caso de los autómatas celulares esto se manifiesta en un cambio crítico en la forma como estos se comportan cuando la conectividad atraviesa un valor crítico de la conectividad media de las neuronas.
En lo tocante a las herramientas de uso para hacer este tipo de investigaciones podríamos, a grandes rasgos, dividirlas en dos: la simulación numérica por computadora (que sería un análogo al enfoque experimental) y el cálculo analítico (con un análogo teórico). Ninguno de estos dos enfoque sustituye al otro, y en realidad son complemento el uno del otro permitiendo verificar uno al otro. En el caso de la investigación que llevo a cabo en la Unidad Cuernavaca del Instituto de Matemáticas de la UNAM fundamentalmente me concentro en el enfoque analítico. Éste hace uso de técnicas matemáticas propias de las siguientes ramas: cálculo combinatorio, análisis asintótico y teoría de graficas.