Revista de Divulgación Científico-Tecnológica del Gobierno del Estado de Morelos

La cuadratura del círculo

¿Qué tienen en común los siguientes tres problemas matemáticos?

1. Dibujar un cuadrado que tenga solamente tres lados.
2. Encontrar dos números impares cuya suma también sea un número impar.
3. Dado un círculo, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, empleando solamente regla y compás.

La respuesta es sencilla; son imposibles de resolver.

No es que sean muy complicados. No es que la matemática todavía no les encontró solución. Son imposibles de resolver porque son contradictorios. Lo que piden es necesariamente imposible.
La contradicción es evidente en el primer problema. Un cuadrado, por definición, tiene cuatro lados. Ninguna figura que tenga solamente tres lados podrá ser un cuadrado.
Aunque no sea tan evidente, el segundo problema también es contradictorio. Puede demostrarse fácilmente que la suma de dos números impares debe ser necesariamente un número par.

Y el tercer problema también encierra una contradicción. Pero eso ya no es para nada evidente. Tan poco evidente resulta la contradicción que, durante siglos, los matemáticos han intentado hallarle solución a este ilustre problema. Y aún hoy, cuando su imposibilidad ya ha quedado demostrada sin lugar a dudas, todavía hay aficionados que insisten en la búsqueda. Se trata del famoso problema de la cuadratura del círculo.
Hay quienes creen que la cuadratura del círculo es un problema de importancia fundamental, un problema cuya solución abrirá puertas al progreso matemático. O que, como ocurría con los números irracionales en la antigua Grecia, los matemáticos ocultan su solución porque encierra algún secreto misterioso. Acerca de esta imposibilidad, leemos en un libro sobre "los secretos" de las pirámides de Egipto.
En geometría (llámese hermética, euclidiana o esférica) no existe ningún problema que no se pueda resolver, aunque sea con el aceptable error que nos proporcionen nuestros rudimentarios instrumentos.
En realidad, no es que no se pueda dibujar un cuadrado de superficie igual a la de un círculo dado. Lo imposible es hacerlo solamente con regla y compás.

Un poco de geometría

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Algunos piensan que nació en Egipto. Cada vez que la crecida del Nilo inundaba las tierras cultivables, se borraban todas las marcas que indicaban a quién pertenecía cada parcela. Y, entonces, había que medir todo de nuevo: trazar rectas, medir ángulos, determinar superficies. Así se fue desarrollando un conjunto de técnicas que hoy llamaríamos agrimensura; pero era geometría. Después de todo, agrimensura y geometría quieren decir lo mismo: medición de la tierra.

Fue Euclides (siglo IV antes de Cristo) el primero en poner en orden estas técnicas y elevarlas a la categoría de «ciencia exacta». Para ello, enunció una serie de axiomas o principios básicos muy sencillos de los que podrían deducirse las propiedades de rectas, triángulos, círculos y todas las demás figuras.

Sólo se necesita una regla y un compás

Para resolver los problemas geométricos se necesita papel, lápiz y algunos instrumentos auxiliares. Y así como Euclides trató de reducir al mínimo los axiomas básicos, también se propuso recurrir al menor número de instrumentos auxiliares.
Euclides decidió que podría arreglárselas con apenas dos instrumentos: una regla (sin graduaciones, sin marcas) y un compás (como el que usamos en la escuela). Estas eran las herramientas permitidas. Prohibido servirse de otra cosa.
Y parecían suficientes. Por ejemplo, usando regla y compás, se puede trazar la mediatriz de un segmento. En otras palabras: con regla y compás puede dividirse un segmento en dos partes iguales, y trazar la perpendicular a un segmento dado.
También, usando regla y compás, puede dibujarse un cuadrado con sus diagonales. Y si el lado de este cuadrado mide una unidad (un centímetro, una pulgada, un metro, no importa), la longitud de su diagonal deberá ser igual a la raíz cuadrada del número dos. En otras palabras: con regla y compás se puede calcular la raíz cuadrada de dos.
Hay muchas más operaciones aritméticas que pueden efectuarse gráficamente, usando solamente regla y compás. Pero también hay muchas otras que no pueden hacerse. No pueden calcularse raíces cúbicas, por ejemplo.
Un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado debe tener un lado proporcional a la raíz cuadrada del número π (3,14159…). Sacar la raíz cuadrada se puede. Pero obtener el número π como resultado de operaciones realizables sólo con regla y compás, no. Puede recurrirse a otros instrumentos, pero sólo con regla y compás no alcanza. ¿Por qué? No es algo fácil de explicar, pero está demostrado que π es de la clase de números que trascienden a las operaciones aritméticas simples. Por eso se dice que es un número trascendente.
Podemos encontrar un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado si recurrimos a otros instrumentos. ¿Cuáles podrían ser esos otros instrumentos?
El más simple es una ruedita: un círculo que ruede sobre el papel. Si el diámetro de este círculo mide una unidad, el trazo que deja sobre el papel al avanzar girando una vuelta es exactamente igual a π. Una vez obtenido este trazo, el resto del problema es muy sencillo, ya que existen métodos para extraer la raíz cuadrada de un número, usando solamente regla y compás.
Usando compás, regla y la ruedita, se puede cuadrar el círculo. Pero el enunciado es claro: la cuadratura del círculo hay que hacerla usando solamente regla y compás. En esas condiciones, el problema no tiene solución. Y no hay nada más que decir del asunto.


ºIng. Claudio Horacio Sánchez / Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.
Universidad de Flores, Buenos Aires, Argentina.